Interpolation (보간법) - linear, bilinear, trilinear

interpolation에 대한 개념과 방법에 대해 알아보자.

1. interpolation이란?

interpolation은 우리가 가지고 있는 데이터들 사이에 위치한 값을 알고 있는 데이터들로 부터 추청하는 것이다. interpolation과 대비되는 개념인 extrapolation은 데이터 바깥의 값을 추정하는 것을 말한다. 좀 더 수학적으로 표현하자면 다음과 같다.

즉, 함수 f라는 interpolant를 구하고, 주어지지 않은 데이터 t에 대응하는 y의 값을 추정하는 것이다.

 

2. interpolation methods

interpolation에는 다양한 방법들이 있다. interpolation은 interpolant를 basis function들로 구성하는 것부터 시작해서 그들의 계수를 찾는 것으로 끝난다. 아래는 내가 학교에서 수치해석 수업을 들으며 배웠던 interpolation 방법들이다.

• Polynomial interpolation 
  • Lagrange Polynomial
  • Newton Polynomial
  • Orthogonal Polynomials
    • Legendre Polynomial 
    • Chebychev Polynomial 
• Piecewise Polynomial interpolation
  • Hermite Cubic interpolation
  • Cubic Spline interpolation

이번 글에서는 위 방법들에는 없지만(polynomial의 일종이긴 함) 가장 단순하면서 유명한 linear interpolation에 대해 알아본다.

 

3. Linear Interpolation

linear interpolation은 기본적으로 두 점 사이의 값을 추정할 때 그 값을 두 점과의 직선 거리에 따라 결정하는 방법이다. 아래 그림과 같이 점 x1과 x2 사이에 있는 점 x의 값을 추정하고 싶다면 다음과 같은 식을 작성할 수 있다.

 

4. Bilinear Interpolation

추정하고 싶은 점이 2차원 공간에 있다면 어떨까? bilinear interpolation은 이중선형 보간법으로, linear interpolation을 2차원으로 확장한 개념이다. 아래 그림과 같이 직사각형에서 4개의 점이 있고 그 내부에 있는 점 P의 값을 추정하고 싶다면 다음과 같은 식을 작성할 수 있다.

계산 방식은 A와 B으로 linear interpolation하여 M을 계산하고, C와 D으로 linear interpolation하여 N을 계산한 후 M와 N으로 linear interpolation하여 최종적으로 P를 얻는 것이다. 

 

5. Trilinear Interpolation

Trilinear Interpolation은 Bilinear와 유사하게 3차원으로 확장한 개념이다. 아래 그림과 같이 3차원 공간 안의 점 P를 구할 수 있다.